えびのらくがき

とある理系会社員の気晴らし備忘録

数学分野まとめてみた

私は数学を趣味として愉しんでいるのですが、学問としての数学の全体像のようなものが見えていないなーとふと思ってしまいました。大学で数学を履修したわけでも、職業として数学を扱っているわけでもないのですが、素人なりにふわっと全体像をイメージ出来ればなと考え、数学分野の分類について少しまとめてみました。

 

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一般的に大きく分けて、純粋数学応用数学に分けることか多いようです。

さらに純粋数学代数学幾何学解析学に大きく分類されます。応用数学に関しては、純粋数学で得られた数学的性質や現象を他分野へ適用することにより、数学を道具として扱い利用するといったイメージかと思います。この応用数学については、統計、力学、暗号、アルゴリズムなど、なんとなく中身のイメージがつきますが、純粋数学の3分野については一般人がその字面を見ても、なんのことやらと言った感じで中身がよくわからないと思います。私は一応、化学を専門に学んだ理系大卒ではありますが正直良くわかっていませんでした。代数?文字式でごちゃごちゃやる感じ?、幾何学?図形の話?、解析?微積の話?ぐらいの理解です。これを機に3分野それぞれの内容を調べて簡単に説明してみました。

 

代数学

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要素の集まりである集合に対して加減乗除などの演算を定義したモノを代数系といい、その様々な性質や現象を研究する学問を代数学と言います。

最もイメージしやすいのは、普段我々が日常的に取り扱っているような、1,2,3,4,5・・・といった数に対して+、−、×、÷の演算を適用してさまざまな結果が得られるといったものになるかと思いますが、かならずしも数だけを取り扱うわけではなく、研究する対象はルービックキューブの一つ一つの状態からなる集合に対して、回転操作という演算を定義したモノであったりしても良いのです。「代数」という呼び名は、数の代わりに文字を用いて方程式の解法を研究する学問として発展してきた歴史に由来するようです。

■キーワード

線形代数

 行列

整数論

 リーマン予想フェルマーの最終定理

群論・環論

ガロア理論

 

幾何学

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図形や空間の性質に関する研究を幾何学と言います。高校で習う直角三角形の性質に関するピタゴラスの定理などをイメージすると良いと思います。歴史的には古代ギリシャの数学者ユークリッド(実在を疑う説もあり。)による「原論」にまとめられた図形に関する研究を発端として、様々な分野に分かれて発展を続けています。近年、位相幾何学と呼ばれる分野の難問「ポアンカレ予想」を、フランスの数学者ペレリマンが証明したことで話題になりました(2002-2003頃)。

■キーワード

微分幾何学

位相幾何学トポロジー

代数幾何学

 楕円曲線

ポアンカレ予想

ピタゴラスの定理

ユークリッド空間

ユークリッド空間

ケーニヒスベルグの橋

 

析学

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微小量を厳密に取り扱うことで関数などの性質を研究する分野を、解析学と言います。高校数学で習う微分積分を追求したようなものがこの分野に相当し、”小さな変化をいかに正しく取り扱うかを突き詰める学問”というようなイメージです。自然現象を説明するモデルを表現したり解いたりするために物理学や工学の分野で広く適用されており、歴史的にもニュートンライプニッツによる古典力学の研究から発展した学問です。

■キーワード

極限

収束

微分

積分

微分方程式

ε-δ論法

フーリエ解析

確率論

 

まとめ

個人的なイメージとしては、代数学=構造を研究する分野、幾何学=空間を研究する分野、解析学=変化を研究する分野、と大雑把に理解しました。いろんなところで趣味の欄に数学と記入しいる私なのですが、こうして整理してみると純粋数学に関してほとんど中身を理解していないし、これから勉強したとしても専門家に追いつくことはできないだろうなぁと感じました。数学を極めるとかそういうことは考えずこれからも愉しんでいければいいかなぁと思います。

もし、表現の誤りや、間違いがあればご指摘いただけるとありがたいです。

 

参考文献

代数学 - Wikipedia

幾何学 - Wikipedia

解析学 - Wikipedia

ピタゴラスの定理 | 江戸の数学

関西大学システム理工学部数学科 数学分野紹介

 

http://www.math.kansai-u.ac.jp/field.pdf

駒澤大学 数学とは何か? 

https://www.komazawa-u.ac.jp/~w3c/lecture/mathematics.html

北海道大 数学の分野の紹介と特徴について

http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/research/field/areas.php